什么是函数

在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个**里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）**里的唯一元素

（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。

----A

variable

so

related

to

another

that

for

each

value

assumed

by

one

there

is

a

value

determined

for

the

other.

应变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

----A

rule

of

correspondence

between

two

sets

such

that

there

is

a

unique

element

in

the

second

set

assigned

to

each

element

in

the

first

set.

函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。

函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。

但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。

辨析单词区别：Related与Relevant

两个可以通用 除了某一些用法外比如 My brother and I are related 我们有血缘关系。 这里必须用related relavent 是指有关联的 related 是指有联系的 其实两个差不多 。 。。望采纳 谢谢~

如何设置iptables input和output设置规则

iptables 的历史以及工作原理

1.iptables的发展:

iptables的前身叫ipfirewall （内核1.x时代）,这是一个作者从freeBSD上移植过来的，能够工作在内核当中的，对数据包进行检测的一款简易访问控制工具。但是ipfirewall工作功能极其有限(它需要将所有的规则都放进内核当中，这样规则才能够运行起来，而放进内核，这个做法一般是极其困难的)。当内核发展到2.x系列的时候，软件更名为ipchains，它可以定义多条规则，将他们串起来，共同发挥作用，而现在，它叫做iptables，可以将规则组成一个列表，实现绝对详细的访问控制功能。

他们都是工作在用户空间中，定义规则的工具，本身并不算是防火墙。它们定义的规则，可以让在内核空间当中的netfilter来读取，并且实现让防火墙工作。而放入内核的地方必须要是特定的位置，必须是tcp/ip的协议栈经过的地方。而这个tcp/ip协议栈必须经过的地方，可以实现读取规则的地方就叫做 netfilter.(网络过滤器)

作者一共在内核空间中选择了5个位置，

1.内核空间中：从一个网络接口进来，到另一个网络接口去的

2.数据包从内核流入用户空间的

3.数据包从用户空间流出的

4.进入/离开本机的外网接口

5.进入/离开本机的内网接口

2.iptables的工作机制

从上面的发展我们知道了作者选择了5个位置，来作为控制的地方，但是你有没有发现，其实前三个位置已经基本上能将路径彻底封锁了，但是为什么已经在进出的口设置了关卡之后还要在内部卡呢？ 由于数据包尚未进行路由决策，还不知道数据要走向哪里，所以在进出口是没办法实现数据过滤的。所以要在内核空间里设置转发的关卡，进入用户空间的关卡，从用户空间出去的关卡。那么，既然他们没什么用，那我们为什么还要放置他们呢？因为我们在做NAT和DNAT的时候，目标地址转换必须在路由之前转换。所以我们必须在外网而后内网的接口处进行设置关卡。

这五个位置也被称为五个钩子函数（hook functions）,也叫五个规则链。

1.PREROUTING (路由前)

2.INPUT (数据包流入口)

3.FORWARD (转发管卡)

4.OUTPUT(数据包出口)

5.POSTROUTING（路由后）

这是NetFilter规定的五个规则链，任何一个数据包，只要经过本机，必将经过这五个链中的其中一个链。

3.防火墙的策略

防火墙策略一般分为两种，一种叫“通”策略，一种叫“堵”策略，通策略，默认门是关着的，必须要定义谁能进。堵策略则是，大门是洞开的，但是你必须有身份认证，否则不能进。所以我们要定义，让进来的进来，让出去的出去，所以通，是要全通，而堵，则是要选择。当我们定义的策略的时候，要分别定义多条功能，其中：定义数据包中允许或者不允许的策略，filter过滤的功能，而定义地址转换的功能的则是nat选项。为了让这些功能交替工作，我们制定出了“表”这个定义，来定义、区分各种不同的工作功能和处理方式。

我们现在用的比较多个功能有3个：

1.filter 定义允许或者不允许的

2.nat 定义地址转换的

3.mangle功能:修改报文原数据

我们修改报文原数据就是来修改TTL的。能够实现将数据包的元数据拆开，在里面做标记/修改内容的。而防火墙标记，其实就是靠mangle来实现的。

小扩展:

对于filter来讲一般只能做在3个链上：INPUT ，FORWARD ，OUTPUT

对于nat来讲一般也只能做在3个链上：PREROUTING ，OUTPUT ，POSTROUTING

而mangle则是5个链都可以做：PREROUTING，INPUT，FORWARD，OUTPUT，POSTROUTING

iptables/netfilter（这款软件）是工作在用户空间的，它可以让规则进行生效的，本身不是一种服务，而且规则是立即生效的。而我们iptables现在被做成了一个服务，可以进行启动，停止的。启动，则将规则直接生效，停止，则将规则撤销。

iptables还支持自己定义链。但是自己定义的链，必须是跟某种特定的链关联起来的。在一个关卡设定，指定当有数据的时候专门去找某个特定的链来处理，当那个链处理完之后，再返回。接着在特定的链中继续检查。

注意：规则的次序非常关键，谁的规则越严格，应该放的越靠前，而检查规则的时候，是按照从上往下的方式进行检查的。

三．规则的写法:

iptables定义规则的方式比较复杂:

格式：iptables [-t table] COMMAND chain CRETIRIA -j ACTION

-t table ：3个filter nat mangle

COMMAND：定义如何对规则进行管理

chain：指定你接下来的规则到底是在哪个链上操作的，当定义策略的时候，是可以省略的

CRETIRIA:指定匹配标准

-j ACTION :指定如何进行处理

比如：不允许172.16.0.0/24的进行访问。

iptables -t filter -A INPUT -s 172.16.0.0/16 -p udp --dport 53 -j DROP

当然你如果想拒绝的更彻底：

iptables -t filter -R INPUT 1 -s 172.16.0.0/16 -p udp --dport 53 -j REJECT

iptables -L -n -v #查看定义规则的详细信息

四：详解COMMAND:

1.链管理命令（这都是立即生效的）

-P :设置默认策略的（设定默认门是关着的还是开着的）

默认策略一般只有两种

iptables -P INPUT (DROP|ACCEPT) 默认是关的/默认是开的

比如：

iptables -P INPUT DROP 这就把默认规则给拒绝了。并且没有定义哪个动作，所以关于外界连接的所有规则包括Xshell连接之类的，远程连接都被拒绝了。

-F: FLASH，清空规则链的(注意每个链的管理权限)

iptables -t nat -F PREROUTING

iptables -t nat -F 清空nat表的所有链

-N:NEW 支持用户新建一个链

iptables -N inbound_tcp_web 表示附在tcp表上用于检查web的。

-X: 用于删除用户自定义的空链

使用方法跟-N相同，但是在删除之前必须要将里面的链给清空昂了

-E：用来Rename chain主要是用来给用户自定义的链重命名

-E oldname newname

-Z：清空链，及链中默认规则的计数器的（有两个计数器，被匹配到多少个数据包，多少个字节）

iptables -Z :清空

2.规则管理命令

-A：追加，在当前链的最后新增一个规则

-I num : 插入，把当前规则插入为第几条。

-I 3 :插入为第三条

-R num：Replays替换/修改第几条规则

格式：iptables -R 3 …………

-D num：删除，明确指定删除第几条规则

3.查看管理命令 “-L”

附加子命令

-n：以数字的方式显示ip，它会将ip直接显示出来，如果不加-n，则会将ip反向解析成主机名。

-v：显示详细信息

-vv

-vvv :越多越详细

-x：在计数器上显示精确值，不做单位换算

--line-numbers : 显示规则的行号

-t nat：显示所有的关卡的信息

五：详解匹配标准

1.通用匹配：源地址目标地址的匹配

-s：指定作为源地址匹配，这里不能指定主机名称，必须是IP

IP | IP/MASK | 0.0.0.0/0.0.0.0

而且地址可以取反，加一个“!”表示除了哪个IP之外

-d：表示匹配目标地址

-p：用于匹配协议的（这里的协议通常有3种，TCP/UDP/ICMP）

-i eth0：从这块网卡流入的数据

流入一般用在INPUT和PREROUTING上

-o eth0：从这块网卡流出的数据

流出一般在OUTPUT和POSTROUTING上

2.扩展匹配

2.1隐含扩展：对协议的扩展

-p tcp :TCP协议的扩展。一般有三种扩展

--dport XX-XX：指定目标端口,不能指定多个非连续端口,只能指定单个端口，比如

--dport 21 或者 --dport 21-23 (此时表示21,22,23)

--sport：指定源端口

--tcp-fiags：TCP的标志位（SYN,ACK，FIN,PSH，RST,URG）

对于它，一般要跟两个参数：

1.检查的标志位

2.必须为1的标志位

--tcpflags syn,ack,fin,rst syn = --syn

表示检查这4个位，这4个位中syn必须为1，其他的必须为0。所以这个意思就是用于检测三次握手的第一次包的。对于这种专门匹配第一包的SYN为1的包，还有一种简写方式，叫做--syn

-p udp：UDP协议的扩展

--dport

--sport

-p icmp：icmp数据报文的扩展

--icmp-type：

echo-request(请求回显)，一般用8 来表示

所以 --icmp-type 8 匹配请求回显数据包

echo-reply （响应的数据包）一般用0来表示

2.2显式扩展（-m）

扩展各种模块

-m multiport：表示启用多端口扩展

之后我们就可以启用比如 --dports 21,23,80

六：详解-j ACTION

常用的ACTION：

DROP：悄悄丢弃

一般我们多用DROP来隐藏我们的身份，以及隐藏我们的链表

REJECT：明示拒绝

ACCEPT：接受

custom_chain：转向一个自定义的链

DNAT

SNAT

MASQUERADE：源地址伪装

REDIRECT：重定向：主要用于实现端口重定向

MARK：打防火墙标记的

RETURN：返回

在自定义链执行完毕后使用返回，来返回原规则链。

七：状态检测：

是一种显式扩展，用于检测会话之间的连接关系的，有了检测我们可以实现会话间功能的扩展

什么是状态检测？对于整个TCP协议来讲，它是一个有连接的协议，三次握手中，第一次握手，我们就叫NEW连接，而从第二次握手以后的，ack都为1，这是正常的数据传输，和tcp的第二次第三次握手，叫做已建立的连接（ESTABLISHED）,还有一种状态，比较诡异的，比如：SYN=1 ACK=1 RST=1,对于这种我们无法识别的，我们都称之为INVALID无法识别的。还有第四种，FTP这种古老的拥有的特征，每个端口都是独立的，21号和20号端口都是一去一回，他们之间是有关系的，这种关系我们称之为RELATED。

所以我们的状态一共有四种：

NEW

ESTABLISHED

RELATED

INVALID

八：SNAT和DNAT的实现

由于我们现在IP地址十分紧俏，已经分配完了，这就导致我们必须要进行地址转换，来节约我们仅剩的一点IP资源。那么通过iptables如何实现NAT的地址转换呢？

1.SNAT基于原地址的转换

基于原地址的转换一般用在我们的许多内网用户通过一个外网的口上网的时候，这时我们将我们内网的地址转换为一个外网的IP，我们就可以实现连接其他外网IP的功能。

所以我们在iptables中就要定义到底如何转换：

定义的样式：

比如我们现在要将所有192.168.10.0网段的IP在经过的时候全都转换成172.16.100.1这个假设出来的外网地址：

iptables -t nat -A POSTROUTING -s 192.168.10.0/24 -j SNAT --to-source 172.16.100.1

这样，只要是来自本地网络的试图通过网卡访问网络的，都会被统统转换成172.16.100.1这个IP.

那么，如果172.16.100.1不是固定的怎么办？

我们都知道当我们使用联通或者电信上网的时候，一般它都会在每次你开机的时候随机生成一个外网的IP，意思就是外网地址是动态变换的。这时我们就要将外网地址换成 MASQUERADE(动态伪装):它可以实现自动寻找到外网地址，而自动将其改为正确的外网地址。所以，我们就需要这样设置：

iptables -t nat -A POSTROUTING -s 192.168.10.0/24 -j MASQUERADE

这里要注意：地址伪装并不适用于所有的地方。

2.DNAT目标地址转换

对于目标地址转换，数据流向是从外向内的，外面的是客户端，里面的是服务器端通过目标地址转换，我们可以让外面的ip通过我们对外的外网ip来访问我们服务器不同的服务器，而我们的服务却放在内网服务器的不同的服务器上。

如何做目标地址转换呢？：

iptables -t nat -A PREROUTING -d 192.168.10.18 -p tcp --dport 80 -j DNAT --todestination 172.16.100.2

目标地址转换要做在到达网卡之前进行转换,所以要做在PREROUTING这个位置上

九：控制规则的存放以及开启

注意：你所定义的所有内容，当你重启的时候都会失效，要想我们能够生效，需要使用一个命令将它保存起来

1.service iptables save 命令

它会保存在/etc/sysconfig/iptables这个文件中

2.iptables-save 命令

iptables-save /etc/sysconfig/iptables

3.iptables-restore 命令

开机的时候，它会自动加载/etc/sysconfig/iptabels

如果开机不能加载或者没有加载，而你想让一个自己写的配置文件（假设为iptables.2）手动生效的话：

iptables-restore /etc/sysconfig/iptables.2

则完成了将iptables中定义的规则手动生效

企业利用大数据的重要性是什么？

 对于管理者来说，企业的发展方向的制定依据主要是来自于企业的报表分析，而传统的企业报表往往比较单向，CRM管理系统很大意义上肩负了企业数据分析的重任，在RUSHCRM客户管理系统的使用当中常常需要实现数据统计，不同的统计结果也会有不同的实现方式，比如通过“报表”功能可以实现跨模块数据提取，形成一张综合的数据统计表单；通过“视图筛选”功能可以实现当前模块字段数据的汇总和筛选，快速生成想要查看的数据结果；通过“工作流”当中的函数功能可以实现在触发某一事件时将统计结果汇总到某一模块当中；那么今天小编就来说RUSHCRM客户管理系统当中跟报表相关的一个函数的运用。

·                     函数名称：CalcAllRelatedModulesSum

·                     函数将多个模块的同类型字段数据求和后汇总到同一上级模块字段当中。

例：将同一客户名下的所有合同签订金额汇总到客户信息表单当中（这里这们只将一个模块的字段数据汇总）；

如下图示:首先我们要在需要汇总的模块（合同）中创建一条‘工作流’，然后在任务当中选‘调用自定义函数’，在函数名称下拉列表中找到函数名为‘CalcAllRelatedModulesSum’的函数；

| 参数的填写格式

·           “上级汇总模块”当中需要填写“客户信息模块名称”和“客户信息模块中展示汇总结果的字段名称”；

·           “统计模块”当中需要填写“合同模块名称”和“合同模块”中需要汇总的字段名称（这里因为我们只统计一个合同模块的数据，所以“统计模块2”的部分可以删掉）；

参数填写好后保存就可以了（例：Accounts:cf_1109,SalesOrder:cf_1102）。

什么！不知道模块名称和字段名称是什么？别急，往后看……

| 模块名称和字段名称

在RushCrm系统中，模块名称的猎取方式有多种，这里只讲一种比较简单的办法。以【客户管理】模块为例如下图所示：首先进入到客户管理模块的“布局设计”页面

页面打开后我们直接在上方输入网址的地址栏中找到最后一个单词，就是当前模块的名称，如下图所示：

而字段名称只需要在当前页面找到相对应的字段点击修改，在弹出的窗口顶端就会显示字段名称，如下图所示:

这样我们就实现了把一个客户名下所有合同中的金额汇总后展示在该客户的基本信息当中，如下图所示

好了，今天小编只是给大家介绍一下函数CalcAllRelatedModulesSumr的一种实际应用案例，其实还可以实现如：把收款单的金额和退款单的金额汇总到应收单当中来计算实收金额。更多的应用方式就由大家自己去摸索吧，总之，学会和灵活运用函数在CRM系统的实际应用当中可以解决包括数据统计等很多意想不到问题，从而更加简化我们的工作，提升效率。

  企业管理最客观有效的方法就是数据管理，不能正确的进行企业数据的全方位分析，就好像企业发展道路上缺少了明灯，请务必不要忽视企业数据力的重要作用。

何谓函数？

在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个**里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）**里的唯一元素。

（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。

----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.

自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.

函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。

函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

functions

数学中的一种对应关系，是从某**A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数 。精确地说，设X是一个不空**，Y是某个实数** ，f是个规则 ， 若对X中的每个x，按规则f，有Y中的一个y与之对应 ， 就称f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，Y为其值域，x叫做自变量，y为x的函数。

例1：y＝sinx X＝〔0，2π〕，Y＝〔－1，1〕 ，它给出了一个函数关系。当然 ，把Y改为Y1＝（a，b） ，a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。

其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为〔0，b〕。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法 ， 表格法和图像法。

复合函数

有3个变量，y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：

x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U 。 f的值域为U，当U*ÍU时，称f与ψ 构成一个复合函数 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx＞0 ，lgsinx有意义 。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0 ，lgsinx无意义 ，就成不了复合函数。

反函数

就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此 ，设y＝f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数 ，记为x＝f -1（y）。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量 ，故这个函数仍记为y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx与y＝arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f -1（x）的图形关于直线y＝x对称。

隐函数

若能由函数方程 F（x，y）＝0 确定y为x的函数y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。

多元函数

设点（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。

基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。

①幂函数：y＝xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α为整数)，当α是奇数时为（ －∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。

②指数函数：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定义成为（ －∞，＋∞），值域为（0 ，＋∞），a＞0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2＞x1时，） ，0＜a＜1 时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称。如图4。

③对数函数：y＝logax（a＞0）， 称a为底 ， 定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞） 。a＞1 时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数 。如图5。

以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。

④三角函数：见表2。

正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。

⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。

⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦�（ex＋e-x），双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，双曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。

[编辑]补充

在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个**里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）**里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a

III.二次函数的图象

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象，

可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P [ -b/2a ，(4ac-b²)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax²+bx+c=0

此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

一次函数

I、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b（k，b为常数，k≠0）

则称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

II、一次函数的性质：

y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即 △y/△x=k

III、一次函数的图象及性质：

1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

3． k，b与函数图象所在象限。

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

IV、确定一次函数的表达式：

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：

y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

V、一次函数在生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

反比例函数

形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的图像为双曲线。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。

三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的**与一个比值的**的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

它有六种基本函数：

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

符号 sin cos tan cot sec csc

正弦函数 sin（A）=a/h

余弦函数 cos（A）=b/h

正切函数 tan（A）=a/b

余切函数 cot（A）=b/a

在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)来表示。

函数概念的发展历史

1.早期函数概念——几何观念下的函数

十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。

1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。

2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数

1718年约翰•贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。

1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”

18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰•贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数

1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。

等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的**论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“**”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过**概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。

4.现代函数概念——**论下的函数

1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《**论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用**概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。

1930 年新的现代函数定义为“若对**M的任意元素x，总有**N确定的元素y与之对应，则称在**M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”

术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。

但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。

正比例函数:

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．

（另：中文“函数”名称的由来

在中国清代数学家李善兰（1811—1882）翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function”翻译为“函数”，此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”；这里的“函”是包含的意思。）

深入研究一次函数

徐若翰

在学习一次函数时，根据中学要求，我们还要深入研究它的实际应用，以及如何改变图象的位置。

一、实际问题中的分段函数

〔例1〕（2005年武汉市）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图。若返回时上、下一个坡的速度不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是多少？

分析：上、下坡的速度不同，问题要分两段来研究。

根据函数图象提供的信息，可知小明从家去学校时，上坡路程为3600米，下坡路程为9600－3600=6000（米）。

∴上坡速度为3600÷18=200（米/分钟）

下坡速度为6000÷（30－18）=500（米/分钟）

小明回家时，上坡路程6000米，下坡路程3600米，所用时间为6000÷200＋3600÷500=37.2（分钟）。

二、在物理学科中的应用

〔例2〕（2004年黄冈市）某班同学在探究弹簧的长度与外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：

求y关于x的函数解析式及自变量的取值范围。

分析：根据物理学知识可知，弹簧在外力（所挂砝码的重力）作用下发生形变（伸长），外力与指针位置的关系可以用一次函数表示；但是，每个弹簧所受的外力都有一定的限度，因此我们必须求出自变量的取值范围。

由已知数据求出：在弹簧受力伸长过程中，

令y=7.5，得x=275

∴所求函数为

注 两段之间的分界点是x=275，不是x=300。

三、直线平移的应用

〔例3〕（2005年黑龙江省）在直角坐标系中，已知点A（－9，0）、P（0，－3）、C（0，－12）。问：在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由。

分析：在所研究的梯形中哪两边平行？有两种可能：如果，就是把直线CA平移，经过P点易求直线CA的解析式为

平移后得到直线的解析式为

如果

把直线PA：平移，经过C点

得到直线：

直线交x轴于点（－36，0）

直线的解析式为

如何理解函数概念

曹阳

函数是数学中的一个极其重要的基本概念，在中学数学中，函数及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好函数的概念对今后的学习非常有用。回顾函数概念的发展史，“函数”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，但其含义与现在对函数的理解大不相同。现代初中数学课程中，函数定义采用的是“变量说”。即：

在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数，x称为自变量，y称为因变量。

它明确指出，自变量x在某一给定范围可以取任一个值，因变量y按一定的规律也相应每次取唯一确定的值。但是，初中阶段并不要求掌握自变量的取值范围（看一下初中要学的几个函数可知，这个定义完全够用，而且，对于初中生来说，也容易理解）。

函数概念的抽象性很强，学生不易理解，要理解函数概念必须明确两点：第一，明确自变量和因变量的关系，在某变化过程中，有两个变量x，y，如果看成y随x的变化而变化，那么x称为自变量，y称为因变量；如果看成x随y的变化而变化，那么y称为自变量，x称为因变量。第二，函数定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变量x的值就有唯一确定的因变量y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”），下面以图1来阐述这样的对应关系（其中x是自变量，y是因变量）：

“一对一” “多对一” “一对多”

是函数 是函数 不是函数

图1

下面举4个例子帮助大家理解函数的概念：

例1 一根弹簧的长度为10cm，当弹簧受到拉力F（F在一定的范围内）时，弹簧的长度用y表示，测得有关的数据如表1：

表1

拉力F（kg）

1

2

3

4

…

弹簧的长度y（c）

…

弹簧的长度y是拉力F的函数吗？

分析：从表格中可读出信息，当拉力分别是1kg、2kg、3kg、4kg时，都唯一对应了一个弹簧的长度y，满足函数的定义，所以弹簧的长度y是拉力F的函数。一般地，以表格形式给出的函数，第一行是自变量的值，第二行是因变量的值。

例2 图2是某地区一年内每个月的最高气温和最低气温图。

图2

图2描述了哪些变量之间的关系？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？

分析：图中给出了三个变量，最高气温、最低气温和月份，从图中可以直观地看出最高气温和最低气温随着月份的变化而变化，而且每月的最高气温和最低气温都是唯一的，所以最高气温（或最低气温）是月份的函数。我们还可以发现7月和8月的最高气温相同，也就是说两个自变量对应了同一因变量。一般地，以图象形式给出的函数，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

例3 下列变量之间的关系是不是函数关系？说明理由。

（1）圆的面积S与半径r之间的关系；

（2）汽车以70千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系；

（3）等腰三角形的面积是，它的底边长y（厘米）和底边上的高x（厘米）之间的关系。

分析：（1）圆的面积S与半径r之间的关系式是，当半径确定时，圆的面积S也唯一确定，所以圆的面积S与半径r之间的关系是函数关系。

（2）路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式是，当时间t确定时，路程s也唯一确定，所以路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系是函数关系。

（3）底边长ycm和底边上的高xcm的关系式是，当底边上的高x确定时，底边长y也唯一确定，所以底边长ycm和底边上的高xcm之间的关系是函数关系。

一般地，以关系式形式给出的函数，等号左边是因变量，等号右边的未知数是自变量。

例4 下列图象中，不能表示函数关系的是（ ）

分析：在上面四个图象中，A、C、D都可以表示函数关系，因为任意给定一个自变量x的值，都有唯一的一个y值与它相对应，但是B图中，任意给定一个自变量x的值，却有两个不同的y值与它对应，所以本题应选B。

〔问题2.9〕设m是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m－n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m。

幂函数

幂函数的一般形式为y=x^a。

如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数；

排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

（1）所有的图形都通过（1，1）这点。

（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。

（6）显然幂函数**。

高斯函数

设x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。

任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + （0≤1）